国际课程数学高效学习必备技能

提到数学，很多人第一反应是要记很多公式，需要刷很多题才能拿高分。确实有很多同学通过考前突击刷题，摸清相同类型的试题要用什么公式及方法，得到了不错的分数。这些同学对知识的应用很好，但是过一个学期后所有的知识又还给了老师，又需要进行周而复始的刷题。还有一些同学，刷了很多题，觉得自己都会做，但是拿不到满意的成绩。这些同学的原因在于刷题没有效率，更深层次的原因还是在于知识点掌握不够清楚，而自己刷题时却没有发现。

如果学生觉得学数学的目的只是为了应付考试，又用自己的方法拿到了想要的成绩，那也可以继续用自己的方法走下去。但在这里，我还是要强调，数学是构建逻辑的基础，逻辑思维在整个人生中都有用。这种软实力也是国外大学最看重的，所以那些需要学生进行深入研究分析才能写出来的Extended Essay在IB课程评分中占很大比重。做数学题的过程就是解决问题的过程，你需要利用你手中掌握的工具，采取一定的方法技巧才能找到解决问题的途径。而了解你的工具，学习解决问题的思路，才是数学带给学生最重要的东西。当然，作为学生，拿高分是我们最直接的目的。

简单来说，数学中拿到高分需要具备能力：

(一)看到题后能迅速定位到相应知识点

(二)能够对各个知识点以topic为单位进行串连

(三)能对公式进行熟练运用

针对这些能力，今天我在这里主要和大家分享一下国际课程数学学习的一些方法和技巧，包括在国际课程的数学学习中，怎样高效消化上课内容，怎样高效刷题，以及怎样在国际课程学习过程中培养自己的数学思维。

1.高效消化上课内容

(一)牢记定义

数学中引入新的概念时要注意定义。比如引入微分(differentiation)是因为想要求某个量变化的快慢(即求rate of change)，在图像上的表示就是求切线的斜率(gradient of tangent);引入积分(integration)是因为想要求曲线跟x轴围成的面积，其中有化曲为直的概念，因为我们会求直线围成的图形面积。而引入对数函数(logarithms)和反三角函数(inverse trigonometry)都是从我们熟悉的指数函数(exponents)和三角函数(trigonometry)出发，想要求他们各自的反函数(inverse function)。而什么又是inverse function，他跟function有什么联系和区别。这样就会把各个知识，连点为线，互相串起来。

(二)形成体系

所有的知识点都是从定义开始延伸出去的，在牢记定义的基础上很多推论跟公式也会跟着写出来。在每个topic结束后，做一次总结，将每个topic的知识以定义为核心形成一个体系。

很多学生在数学的学习过程中都容易陷入题海战术或者死记硬背的循环中，会导致可能在开始的学习阶段时，觉得习题简单而忽视细节，然后到后期学习的时候时，又会很容易变得知识点脱节而难以灵活应用。还有就是上课的时候老师讲的都听懂了，但是习题怎么老是做错或者甚至完全没有头绪呢?

这些问题最基本的原因是缺乏对于学过的知识进行总结归纳，及时的去复习以及强化训练。我们在上课时所学习掌握的知识，如果不去管理是会很快变得模糊，所以我们要学习经常性的有条理的去整理我们的知识体系。

推荐的一种比较好的学习方法是概图渐进式学习，可以从笼统的面到细致的点去整理知识，形成一个全面的知识体系。有时学生不能记住所有课堂上的内容，如果这是不可避免的记忆缺失，那把课堂知识的知识轮廓图掌握就变得很重要了。这是最佳的方法去让我们重新掌握完整知识细节，从而可以将知识点很好的灵活运用于解习题。所以建议同学多多去练习自己对于学过知识的概括与总结，学习从概念图出发，对数学的知识概念进行图片式的整理和细化，从而掌握学习的主动性。。

(三) 熟悉公式

对于公式需要熟悉，在需要运用公式的时候要知道什么时候运用。公式能记住最好，但为了减少记忆量，只要注意重点部分。比如在三角函数的和

角公式里，sine角写出来之后是sine跟cosine混合在一起的，而cosine角写出来是cosine cosine在一起，sine sine在一起。以及二项展开式(binomial expansion)的公式只要理解了多项式乘法的定义，其实不需要记忆。

(四)记好笔记

课堂笔记以及课后总结还是建议做好，可以帮助记忆及理清思路。关于笔记，网上也介绍了很多方法，比如很有效的康奈尔笔记法。这里就不加赘述。

　　2.加强课后练习

(一)做题

在跟着学校的进度做书中的练习题时，因为是第一遍，一定要认认真真的做。在做题的过程中，可能碰到做过的相同类型的题，如果自己以前就做的很好，只要定位一下考哪个知识点，理清思路就行了。然后着重攻克自己不会做的题。在做完书上练习题，进入复习阶段时，就要限制时间做一套套卷子了。

国际课程数学的辅导教材和习题集都比较少，一般可以选择课后习题和往年的真题进行练习，学通这边对IB和Alevel的习题也做了系统的整理，根据往年的真题，对各个知识点必考、常考的题目进行了分类，并做成习题册，在同步学习过程中也结合往年常考的真题对学生进行测试和练习。

(二)复盘

做完卷子对完答案后，要进行复盘。搞清楚自己容易错的地方是由于知

识点不熟悉还是理解错误或是粗心。粗心不能算是借口，碰到类似题目的时候要知道自己容易错在哪些地方，甚至要清楚粗心的地方可能发生在哪里。这个过程花不了多少时间，但是很重要，可以减少刷题的量。

(三)存档

没有必要整理出来一个错题本，但是要把做过的卷子保留下来。错题用红笔简单标注，可以标出不熟悉的那个知识点，也可以写出错原因以防再犯。

3.培养数学思维

(一)记尽量少的东西，定义一定在其中。公式多且难或者只要记公式就行了的想法都是有偏差的。如果以后不再接触这些公式，就会忘掉。要记的是定义，对于做题来说，定义不是实用的东西，但是很重要。只要牢牢记住定义，其他公式和推论就像是枝叶依附在定义这个树干上一样。

(二)要学习老师上课时的思路，解决问题的方法。比如说，老师经常会教学生化陌生为熟悉。如果在做反三角函数时觉得不会做，就试着把整个式子用熟悉的三角函数表示出来再看。甚至在integration部分也会有遇到这种问题，如果不会做就先用代入法(substitution)把不熟悉的反函数化成熟悉的原函数，再找思路。

数学找思路的时候不要只在脑子里想，要动手写下来，写下来才会有可能捕捉到规律，脑子里的想法都稍纵即逝。

(三)数感， 简单来说就是数学感觉，就是conjecture。就像在平时生活中会说，从直觉来看，数学学得久了有时侯猜个答案也会猜对，在数学中也会有很多猜想。猜想或者联想能帮助人记忆，帮助人找思路。

(四)要有整体概念。比如说量纲的概念，在用积分求曲线绕x轴体积时，积分符号里面是y平方，很多同学还是只写y，要知道体积的单位都是长度的三次方，y平方乘以要积分的那个很小的x才是三次方;又比如，A level力学求回弹系数e时，已知速度会用字母u表示，可能在某一步运算中会在某一项丢掉u导致结果变成e=(3u+2)/u，e是没有单位的数，很明显分子上的2少了个u。

在国际课程的高中数学中，不像初中经常使用准确的数字，高中已经开始用字母代替数字，很多学生看到那么多字母就头疼，其实只要搞清各个字母所处的相应位置及对应关系，用整体的概念去看式子。

在数学学习中，拿高分只是第一步，要想真正学好数学，路还很长，希望后面还有机会和大家分享一些国际课程数学学习中的一些思维和方法。