华盛顿大学AMATH352应用线性代数与数值分析课程重点解析

华盛顿大学AMATH352应用线性代数与数值分析课程涵盖线性代数的基本概念，重点是数值方法和算法在应用科学和工程问题中的分析和应用。课程介绍了向量和矩阵、线性系统、最小二乘问题和特征值问题。矩阵分解(如LU、QR、SVD)在课程中起着重要作用。总的来说，学生将熟悉矩阵，并熟练运用不同的方法来分解矩阵，包括手工分解和使用MATLAB分解，以解决科学和工程中的各种问题。

华盛顿大学AMATH352应用线性代数与数值分析课程共介绍了五部分内容：矩阵和MATLAB，LU和PLU分解，QR分解，谱相分解，奇异值分解。

一、矩阵算法& MATLAB

1、通过将给定的线性方程组转化为三角形形式，并使用逆向代换来求解该线性方程组。

2、定义矩阵和列向量。

3、用矩阵向量格式或增广矩阵表示线性方程组。

4、手动或在MATLAB中执行矩阵加法、乘法和标量乘法。

5、阅读包含for循环，if语句和while循环在内的MATLAB代码。

6、计算简单MATLAB代码的flop计数。

二、LU & PLU分解

1、定义并计算任意大小的增广矩阵的三行运算。

2、将给定的行运算表示为初等矩阵，求这些初等矩阵的逆矩阵。

3、在可能的情况下，对n × n + 1增广矩阵进行正则高斯消去，并使用反向替换来求解底层线性方程组。

4、尽可能得到方阵的LU分解，在LU分解上使用前向替换和后向替换来求解底层线性方程组。

5、用高斯消去法得到方阵的逆矩阵。

三、QR分解

1、写出Rn的标准基向量。

2、将线性系统解释为找到一组列向量的正确线性组合，并分解给定的列向量(即线性系统的“列图”)。

3、定义Rn中列向量集合张成的空间，定义Rn中的一个子空间。

4、定义列向量集合的线性无关，用矩阵的行阶梯形检验一组列向量是否线性无关，用线性无关或线性相关列向量的个数来定义矩阵的秩/零度。

5、定义子空间的一组基，得到Rn中向量张成空间的一组基。

6、定义一个列向量和一个矩阵的转置，用转置表示两个列向量的点积。

7、使用点积来计算Rn中两个向量的夹角以及向量的欧几里得模。

8、确定两个列向量是否互相正交，定义Rn子空间的正交基，并定义正交矩阵。

9、用Gram-Schmidt正交化过程得到子空间的一组列向量。

10、利用Gram-Schmidt正交化方法得到矩阵的QR分解。

11、使用满秩矩阵的QR分解来解决最小二乘问题。

四、谱相分解

1、定义一个线性变换并确定一个线性变换在其定义域内对基向量所做的代数变换。

2、要知道矩阵乘法是线性变换的复合。

3、定义一个线性变换的标准矩阵表示的范围和零空间，找到这些子空间的基，并获得这些子空间的维数。

4、用矩阵的行列式确定一个方阵何时表示一个线性变换是可逆的。

5、用换基公式表示不同坐标系中的矩阵。

6、定义和计算一个方阵的特征值和特征向量。

7、得到对角化方阵的谱分解。

五、奇异值分解

1、定义对称的半正定矩阵。

2、定义任意矩形矩阵的奇异值分解。

3、求任意矩形矩阵的奇异值和左右奇异向量。

4、使用奇异值分解来表示任何矩形矩阵的最佳低秩近似。

5、用奇异值分解求解最小二乘问题。

6、叙述线性代数基本定理及其与奇异值分解的关系。

以上就是华盛顿大学AMATH352应用线性代数与数值分析课程重点解析，希望能对同学的学习有所帮助。