等势线是什么？等势线原理

所谓等势线 (equipotential lines)，就是由引力势 (gravtitational potential) 或电势 (electric potential) 都相等的点所连成的线。也就是说，对于等势线上的每个点，引力势或电势都相等。

我们以引力势为例，一个质量为 M 的质点周围的引力势表达式为：

式中 r 为距质点的距离。所以在以该质点为圆心、以 r 为半径的圆周上，引力势处处相等。如下图，一个质点周围的等势线就是一个个同心圆。根据以上公式可知，引力势是负值，且 r 越大、引力势也越大，直到 r 趋于无穷大时，引力势趋于零。

对于电势，有着相似的性质。一个带电量为 q 的点电荷周围空间的电势表达式是：

由上式可见，对于距该点电荷距离相同的点，r 相同，电势也就相同，所以点电荷周围的等势线依然是上图所示的同心圆。

电势和引力势的另一个相同之处在于当 r 趋于无穷大时，电势也为零，即都是以无穷远处为 “势” (potential) 的零点。但引力势一般只能为负，而电势的正负是由上式中点电荷 q 的正负来决定的。正电荷周围的电势为正，负电荷周围的电势为负。

如果我们把一个质点周围的重力场 (gravitational field) 和等势线 (equipotential lines) 同时画出，应如下图：

可见，蓝色的重力场线是沿径向的，而黑色的等势线是沿圆的周长方向，两种线处处垂直，这是一个非常重要的结论。再强调一遍，重力场线或电场线与它们所对应的等势线处处垂直。如果我们已知重力场线或电场线，那么相应的等势线可通过作垂线画出；相反，若已知等势线，那么作与这些等势线相垂直的线即为重力场线或电场线。

为什么会有如此规律？

我们以电场为例简要证明一下，重力场中有相似的证明方法。

如上图，charge Q 在其周围创造了电场，我们要把一个带电量为 q 的试探电荷从 A 点以很慢很慢的速度移到 B 点，在这个过程的始末试探电荷的动能可以忽略不计。假设 A 点的电势为 VA，B 点的电势为 VB，那么试探电荷在 A、B 两点所拥有的电势能分别为：

由于从 A 点到 B 点外力所做的功 W 转化为了试探电荷的电势能变化，有：

上式简洁地呈现了外力做功 W 等于电荷的电量 q 乘以 A、B 两点间的电势差 ΔVe。

对于等势线上两个相邻的点来说，由于电势相等、电势差 ΔV 为 0，那么外力做功 W 也必为 0。根据这条结论，我们举个例子：

如上图，在一个向右的匀强电场中放置一个正电荷 q，正电荷受到电场力 FE 的方向与电场同向，向右。将该电荷以极慢的速度移至另一个点，若外力不做功，则两点电势相同。那么沿什么方向移动，外力不做功呢？

若使电荷以极慢且不变的速度移动，则根据牛顿第一定律，其合外力为零，那么外力必须向左，与向右的电场力 FE 相平衡。在外力向左的情况下，如何才能使它不做功？

显然是位移方向垂直于外力方向时外力不做功。也就是说如果正电荷上下移动，外力做功为零。这说明了等势线是上下方向的竖线，等势线垂直于电场线。

我们再重新整理一遍思路：

(1) 由于

，等势线方向上，外力做功必为零；

(2) 电荷所受电场力方向与电场方向一定在一条直线上；

(3) 为了使电荷以极低的速度匀速运动，外力需要与电场力大小相等、方向相反，所以外力方向也与电场方向在一条直线上；

(4) 电荷沿等势线方向移动，外力做功为零，所以这个位移方向必垂直于外力方向，也即等势线方向垂直于电场线方向。

以上简单论证了一下 “等势线与电场线方向相互垂直” 的结论，逻辑较为复杂，第一次学习的话可能需要反复思考、咀嚼，才能想清楚。

最后我们看几个等势线与电场线的例子，首先是平行极板：

如上图，红色的电场线由上面的正极板出发、指向负极板，在两极板之间，电场强度均匀，所以电场线平行、等距，在边缘处打弯，且由于电场减弱、变得更加疏松。图中黑色的等势线处处垂直于电场线：在每个与电场线的交点处都垂直。

下图是两个带等量正电的点电荷，q1 = q2：

图中红色的电场线由两个正电荷出发、并相互排斥，黑色的等势线依然与电场线处处垂直。

如果两点电荷带电量不等，q2 > q1，那么 q2 的电场线会更强势一些、向 q1 有压倒性优势，等势线也会相应的变化，如下图：

下图是左侧为正电荷 q1 = +q、右侧为负电荷 q2 = -q 的情形，红色的电场线从正电荷出发、箭头指向负电荷，黑色的等势线与电场线处处垂直：

若 q2 的带电量更大些，那么电场线会在 q2 处相对密集，等势线如下图所示：

通过观察以上五幅图，不难看出等势线与电场线在每一个交点处都垂直的特征。如果想更深刻地掌握这个规律，希望你能在观察的基础上，把上述五幅图自行画出来。